對(duì)于鋰離子電池的管理系統(tǒng)BMS而言，最重要的就是如何準(zhǔn)確的計(jì)算出鋰離子電池組的充電狀態(tài)SoC，健康狀態(tài)SoH、可用能量和功率等參數(shù)，這就需要一個(gè)準(zhǔn)確的鋰離子電池模型。

一般而言，常見(jiàn)的鋰離子電池的模型分為兩大類(lèi)：1）經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停?）物理模型。其中經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ妥畲蟮膬?yōu)勢(shì)在于操作簡(jiǎn)單，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)，通過(guò)總結(jié)分析和機(jī)械學(xué)習(xí)等方法，獲得一個(gè)模型，該模型不能闡述鋰離子電池的內(nèi)部機(jī)理，但是能夠較為準(zhǔn)確的對(duì)電池的參數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，缺點(diǎn)是僅僅能夠?qū)δ骋惶囟?lèi)型的電池進(jìn)行應(yīng)用，缺少普適性。物理模型是對(duì)鋰離子電池的結(jié)構(gòu)首先構(gòu)建物理理論模型，然后進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，并對(duì)模型進(jìn)行計(jì)算機(jī)程序模擬，優(yōu)點(diǎn)是準(zhǔn)確度高，具有很好的普適性，但是要構(gòu)建準(zhǔn)確的模型往往需要高維度復(fù)雜模型，這也導(dǎo)致了模型的計(jì)算量非常大，難以在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)鋰離子電池的狀態(tài)參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)。

為了能夠降低物理模型的計(jì)算量，我們需要對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，以降低物理模型的復(fù)雜程度，因此出現(xiàn)了許多簡(jiǎn)化鋰離子電池模型的方法，大多數(shù)簡(jiǎn)化鋰離子電池模型的方法主要是通過(guò)對(duì)描述固相擴(kuò)散PDE過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)化而實(shí)現(xiàn)，如Polynomial簡(jiǎn)化，Pade簡(jiǎn)化等，近日美國(guó)科羅拉多大學(xué)的Albert Rodri?guez等人提出了一種快速求解鋰離子電池動(dòng)力學(xué)模型的計(jì)算方法，該方法主要針對(duì)基于擴(kuò)散函數(shù)的模型，基于擴(kuò)算函數(shù)的模型能夠使的鋰離子電池模型保持在很低的維度，從而降低模型的計(jì)算復(fù)雜程度。但是擴(kuò)散函數(shù)方法有一個(gè)缺點(diǎn)就是對(duì)于電解液中的濃度計(jì)算準(zhǔn)確度要求很高，而Albert Rodri?guez等采用參數(shù)變異法VOP替代了分離變量SOV對(duì)模型進(jìn)行計(jì)算，從而極大的加速了模型的計(jì)算過(guò)程，計(jì)算速度提高了3800倍。

• 基于擴(kuò)散函數(shù)的模型進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹

假二維多孔電極模型中電解液物質(zhì)轉(zhuǎn)化公式如下式所示，其中r描述電池的范圍（負(fù)極、隔膜、正極），Ce（x，t）描述了在x位置，時(shí)間t時(shí)電解液的濃度，ee描述了電極的孔隙率，De，eff描述了電解液的擴(kuò)散能力，t+0代表了Li+的擴(kuò)散數(shù)量，as為界面比表面積，j（x,t）為在x位置，t時(shí)間從電極擴(kuò)散到電解液中的Li+。

一般而言，在鋰離子電池內(nèi)De，eff受到鋰鹽濃度的影響，因此各個(gè)位置的值也是不相同的，但是在模型中往往都認(rèn)為在整個(gè)電池中De，eff和ee都是均勻的，這個(gè)假設(shè)可能會(huì)導(dǎo)致模型計(jì)算的準(zhǔn)確度降低，但是Lee等人的計(jì)算顯示，該模型能夠獲得非常準(zhǔn)確的結(jié)果。

在模型中定義電解液濃度C——e=Ce-Ce,0，負(fù)極的空間位置z=x/Ln，隔膜的空間位置為z=（x-Ln）/Ls，正極的空間位置為z=（Ln+Ls+Lp-x）/Lp，因此以負(fù)極為例，其模型如下式所示：

對(duì)于PDE的梯度邊界條件如下所示：

連續(xù)性邊界條件如下式所示：

假設(shè)初始條件為Ce（x，0）=Ce,0

• VOP快速模型計(jì)算方法

在之前的工作中，Lee和他的同事利用分離變量（SOV）的方法獲得了上式1的一個(gè)解，如下所示，在利用有限元求解過(guò)程中為了獲取每個(gè)單元的本征值ln的數(shù)值，需要進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，因此導(dǎo)致模型的建立過(guò)程變的非常緩慢，降低了該模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

為了降低擴(kuò)散函數(shù)模型的計(jì)算復(fù)雜程度，Albert Rodri?guez設(shè)計(jì)了一個(gè)新的計(jì)算方法——參數(shù)變異法（VOP），避免了求解每個(gè)單元的本征值ln的數(shù)值，提高了模型的計(jì)算速度。具體過(guò)程如下所示。

首先Albert Rodri?guez將電池分成若干的區(qū)域分別進(jìn)行計(jì)算，而不是對(duì)整個(gè)電池同時(shí)進(jìn)行計(jì)算，這樣可以保證De，eff和ee等參數(shù)在該區(qū)域內(nèi)是相同的，不會(huì)發(fā)生變化。

對(duì)上式進(jìn)行萊布尼茨轉(zhuǎn)換，可以獲得下式：

通過(guò)一系列的計(jì)算，上述模型的全部特解如下所示：

上式中的反應(yīng)通量如下式所示：

對(duì)上述特解進(jìn)行計(jì)算后，可得下式：

上述模型的全部解為：

因此，負(fù)極的解和它的梯度如下式所示：

隔膜的解和梯度如下式所示：

正極的解和梯度如下式所示：

最后Albert Rodri?guez對(duì)模型中的常量進(jìn)行了求解，得到如下矩陣等式，該矩陣可以通過(guò)人工倒轉(zhuǎn)代換進(jìn)行求解。

為了檢驗(yàn)上述計(jì)算方法的準(zhǔn)確性，Albert Rodri?guez對(duì)其進(jìn)行了驗(yàn)證，計(jì)算結(jié)果顯示，在相同的計(jì)算精度下，參數(shù)變異法VOP的計(jì)算時(shí)間僅需要0.03s，而分離變量法SOV則需要116.75s，因此Albert Rodri?guez提出的計(jì)算方法VOP，比傳統(tǒng)的SOV計(jì)算方法速度提高了3800倍以上。

對(duì)于一個(gè)鋰離子電池模型而言，在實(shí)際應(yīng)用中不僅僅需要考慮到模型的準(zhǔn)確性，還要考慮到計(jì)算的高效和快速，在實(shí)際中往往需要犧牲一定的計(jì)算準(zhǔn)確性，而實(shí)現(xiàn)快速計(jì)算，Albert Rodri?guez等通過(guò)計(jì)算方法的改進(jìn)，在不降低計(jì)算的準(zhǔn)確程度的前提下，降低模型的計(jì)算的復(fù)雜程度，極大的提高了計(jì)算的效率，具有非常好的應(yīng)用前景。

撰稿：憑欄眺

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